12 int (1-(1)/(x))^3x^-2dx

Para resolver la integral \( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx \), podemos simplificar la expresión dentro de la integral y luego aplicar la regla de integración por partes.Primero, vamos a simplificar la expresión dentro de la integral:\( (1-\frac{1}{x})^{3} = (1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x}) \)Expandiendo esta expresión, obtenemos:\( (1-\frac{1}{x})^{3} = 1 - 3\frac{1}{x} + 3\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} \)Ahora, podemos reescribir la integral original:\( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx = \int (1 - 3\frac{1}{x} + 3\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3})x^{-2}dx \)Simplificando cada término, obtenemos:\( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx = \int (x^{-2} - 3x^{-3} + 3x^{-4} - x^{-5})dx \)Ahora, podemos aplicar la regla de integración por partes para resolver la integral:\( \int (x^{-2} - 3x^{-3} + 3x^{-4} - x^{-5})dx = \int x^{-2}dx - 3\int x^{-3}dx + 3\int x^{-4}dx - \int x^{-5}dx \)Integrando cada término por separado, obtenemos: Sumando todos los términos, obtenemos la respuesta final:\( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx = -x^{-1} + 3x^{-2} - 3x^{-3} + \frac{1}{4}x^{-4} + C \)Donde es la constante de integración.