Problemas
roblemas de optimizac ion Un ganadero desea cercar un prado rectangular junto a un río. El prado ha de tener 180000m2 para proporcionar suficiente pasto. ¿Qué dimensiones debe tener el prado para que requiera la menor cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al río?
Roztwór
Antonio
veterano · Tutor durante 9 años
4.2
(188 Votos)
Respuesta
Para resolver este problema de optimización, podemos utilizar el método de derivadas parciales. Supongamos que el prado rectangular tiene una longitud de L metros y una anchura de W metros. Dado que el prado debe tener 180,000 metros cuadrados de área, podemos escribir la siguiente ecuación:L * W = 180,000Dado que no queremos cercar el lado que da al río, solo necesitamos cercar los otros tres lados del prado. El perímetro del prado es dado por la siguiente ecuación:P = 2L + 2WPara minimizar el perímetro, debemos encontrar las derivadas parciales de P con respecto a L y W, y establecerlas igual a cero:/dL = 2 + 4W/L = 0dP/dW = 2L + 4L/W = 0Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos:2 + 4W/L = 02L + 4L/W = 0Multiplicando la primera ecuación por W y la segunda ecuación por L, obtenemos:2W + 8L/W = 02L + 4L^2/W = 0Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos:(2W + 8L/W) + (2L + 4L^2/W) = 02W + 8L/W2L + 4L^2/W = 02W + 8L + 2L + 4L^2/W = 02W + 10L + 4L^2/W = 0Multiplicando toda la ecuación por W para deshacernos de los denominadores, obtenemos:2W^2 + 10LW + 4L^2 = 0Ahora tenemos una ecuación cuadrática en términos de W. Para resolverla, podemos utilizar la fórmula cuadrática:W = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)Donde a = 2, b = 10L, y c = 4L^2. Sustituyendo estos valores, obtenemos:W = (-10L ± √(10L)^2 - 4*2*4L^2)) / (2*2)W = (-10L ± √(100L^2 - 32L^2)) / 4W = (-10L ± √68L^2) / 4W = (-10L ± 2√17L^2) / 4W = (-5L ± √17L^2) / 2Dado que la anchura del prado no puede ser negativa, podemos descartar la solución con la raíz cuadrada negativa. Por lo tanto, la solución es:W = (-5L + √17L^2) / 2Ahora podemos sustituir el valor de W en la ecuación L * W = 180,000 para encontrar el valor de L:L * ((-5L + √17L^2) / 2) = 180,000Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2 para deshacernos de los denominadores, obtenemos:L * (-5L + √17L^2) = 360,000Expandiendo el producto de los dos términos, obtenemos:-25L^2 + L * √17L^2 = 360,000Simplificando la ecuación, obtenemos:-25L^2 + L * √17L^2 = 360,000Dado que queremos minimizar el perímetro, debemos encontrar el valor de L que minimiza la ecuación P = 2L + 2W. Sustituyendo el valor de W que encontramos anteriormente, obtenemos:P = 2L + 2((-5L + √17L^2) / 2)P = 2L + (-5L + √17L^2)P = -5L + √17L^2Para minimizar el perímetro, debemos encontrar el valor de L que minimiza esta ecuación. Dado que la ecuación es una función cuadrática, podemos utilizar el método de completar cuadrados para encontrar el valor de L que minimiza el perímetro.Completando el cuadrado, obtenemos:P = (-5L + √17L^2) + (5L)^2 /