A particle travels along the x -axis such that its velocity is given by v(t)=t^1.8sin(3t) . What is the distance traveled by the particle over the interval 0leqslant tleqslant 5 ? You may use a calculator and round your answer to the nearest thousandth.

Para encontrar la distancia recorrida por la partícula en el intervalo , necesitamos integrar la velocidad con respecto al tiempo. La distancia total es la integral de la velocidad desde 0 hasta 5: Dado que \( v(t) = t^{1.8} \sin(3t) \), la integral se calcula como: Para resolver esta integral, podemos usar una técnica de integración por partes o una tabla de integrales. En este caso, usaremos una tabla de integrales para encontrar la integral de \( t^{1.8} \sin(3t) \): Ahora, evaluamos esta integral en los límites de integración de 0 a 5: Sustituimos los límites de integración: Simplificamos la expresión: Usando una calculadora, encontramos los valores numéricos: Sustituimos estos valores en la expresión: Finalmente, redondeamos a la distancia más cercana a cero: Por lo tanto, la distancia recorrida por la partícula en el intervalo es aproximadamente 7.644 unidades.