III. Resuelve los siguientes ejercicios referentes al interés compuesto. a. Un capital de 10,000 se invierte a una tasa de interés del 5% anual durante 5 años. ¿Cuál es el monto final con interés compuesto? b. ¿Cuánto se debe depositar hoypara tener 20,000 en 3 años si la tasa de interés es del 4% anual compuesto mensualmente? c. Juan invierte 2,000 al inicio de cada semestre por 4 años en un fondo que rinde 3% semestral compuesto. ¿Cuál es el monto acumulado? d. María solicita un préstamo de 50,000 al 12% anual por 3 años.Si realiza pagos mensuales, ¿cuál es el pago mensual constante bajo un esquema de interés compuesto? e. ¿Cuáles la tasa de interés anual equivalente a una tasa nominal del 2% mensual con capitaliza- ción mensual? f. ¿Cuáles el tiempo que se requiere para triplicar un capital de 10,000 invirtiéndolo al 6% anual compuesto continuamente? g. Un fondo de inversión rinde 2.5% mensual. ¿Cuál es la tasa anual equivalente considerando capitalización mensual? h. ¿Cuál es el monto que se debe depositar al final de cada trimestre para reunir 30,000 en 2 años si se invierte al 4% trimestral compuesto? i. ¿Cuánto pagará finalmente una persona que solicitó un préstamo de 80,000 al 8% anual por 8 años con amortizaciones mensuales? i. ¿Cuáles el tiempo requerido para duplicar un capital de 50,000 invirtiéndolo al 5% semestral con capitalización semestral?

a. Para calcular el monto final con interés compuesto, utilizamos la fórmula:<br /><br />\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]<br /><br />Donde:<br />- \( A \) es el monto final<br />- \( P \) es el capital inicial<br />- \( r \) es la tasa de interés anual<br />- \( n \) es la frecuencia de capitalización por año<br />- \( t \) es años<br /><br />En este caso, \( P = \$10,000 \), \( r = 0.05 \), \( n = 1 \) (anual), y \( t = 5 \) años.<br /><br />\[ A = 10000 \left(1 + \frac{0.05}{1}\right)^{1 \cdot 5} = 10000 \left(1 + 0.05\right)^5 = 10000 \cdot 1.05^5 \approx 10000 \cdot 1.27628 \approx 12762.8 \]<br /><br />Por lo tanto, el monto final con interés compuesto es aproximadamente \$12,762.8.<br /><br />b. Para calcular cuánto se debe depositar hoy para tener \$20,000 en 3 años con una tasa de interés del 4% anual compuesto mensualmente, utilizamos la fórmula inversa de interés compuesto:<br /><br />\[ P = \frac{A}{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}} \]<br /><br />Donde:<br />- \( A \) es el monto futuro<br />- \( P \) es el capital inicial<br />- \( r \) es la tasa de interés anual<br />- \( n \) es la frecuencia de capitalización por año<br />- \( t \) es el tiempo en años<br /><br />En este caso, \( A = \$20,000 \), \( r = 0.04 \), \( n = 12 \) (mensual), y \( t = 3 \) años.<br /><br />\[ P = \frac{20000}{\left(1 + \frac{0.04}{12}\right)^{12 3}} = \frac{20000}{\left(1 + 0.003333\right)^{36}} = \frac{20000}{1.003333^{36}} \approx \frac{20000}{1.12749} \approx 17771.4 \]<br /><br />Por lo tanto, se debe depositar aproximadamente \$17,771.4 hoy para tener \$20,000 en 3 años con una tasa de interés del 4% anual compuesto mensualmente.<br /><br />c. Para calcular el monto acumulado por Juan, utilizamos la fórmula de interés compuesto:<br /><br />\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]<br /><br />Donde:<br />- \( A \) es el monto acumulado<br />- \( P \) es el capital inicial \() es la tasa de interés anual<br />- \( n \) es la frecuencia de capitalización por año<br />- \( t \) es el tiempo en años<br /><br />En este caso, \( P = \$2,000 \), \( r = 0.03 \), \( n = 2 \) (semestral), y \( t = 4 \) años.<br /><br />\[ A = 2000 \left(1 + \frac{0.03}{2}\right)^{2 \cdot 4} = 2000 \left(1 + 0.015\right)^8 = 2000 \cdot 1.015^8 \approx 2000 \cdot 1.126825 \approx 2253.65 \]<br /><br />Por lo tanto, el monto acumulado por Juan es aproximadamente \$2,253.65.<br /><br />d. Para calcular el pago mensual constante bajo un esquema de interés compuesto, utilizamos la fórmula de pago constante:<br /><br />\[ P = \frac{r \cdot PV}{1 - (1 + r)^{-n}} \]<br /><br />Donde:<br />- \( P \) es el pago mensual constante<br />- \( r \) es la tasa de interés anual<br />- \( PV \) es el valor presente o capital inicial<br />- \( n \) es el número total de pagos<br /><br />En este caso, \( r = 0.12 \), \( PV = \$50,000 \), y \( n = 3 \cdot 12 = 36 \) meses.<br /><br />\[ P = \12 \cdot 50000}{1 - (1 + 0.12)^{-36}} = \frac