y=4x^(1)/(2)+2x^(1)/(3)-x^-2+5

La ecuación dada es:<br /><br />\[ y = 4x^{\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{1}{3}} - x^{-2} + 5 \]<br /><br />Para encontrar la derivada de esta función, primero identificamos cada término y aplicamos las reglas de derivación correspondientes.<br /><br />1. **Derivada de \(4x^{\frac{1}{2}}\):**<br /> \[ \frac{d}{dx} \left( 4x^{\frac{1}{2}} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = 2x^{-\frac{1}{2}} \]<br /><br />2. **Derivada de \(2x^{\frac{1}{3}}\):**<br /> \[ \frac{d}{dx} \left( 2x^{\frac{1}{3}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}} \]<br /><br />3. **Derivada de \(-x^{-2}\):**<br /> \[ \frac{d}{dx} \left( -x^{-2} \right) = -(-2) x^{-2 - 1} = 2x^{-3} \]<br /><br />4. **Derivada de la constante \(5\):**<br /> \[ \frac{d}{dx} (5) = 0 \]<br /><br />Sumando todas las derivadas obtenemos:<br /><br />\[ \frac{dy}{dx} = 2x^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}} + 2x^{-3} \]<br /><br />Por lo tanto, la derivada de la función \( y = 4x^{\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{1}{3}} - x^{-2} + 5 \) es:<br /><br />\[ \frac{dy}{dx} = 2x^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}} + 2x^{-3} \]