Ejercicio 1. La posición de una particula que se mueve a lo largo del eje x depende del tiempo de acuerdo con la ecuación x=ct^2-bt^3 donde x está en metros y t en segundos. a) ¿Cuáles son las unidades de las constantes a y b? Justifica tu respuesta. b) Si los valores numéricos de las constantes en la ecuación de posición son a=3.0yb=2.0 c) ¿en qué tiempo alcanza la particula su valor máximo positivo de x entre t=0.0syt=4.0s d) Construye las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de la particula.

a) Las unidades de la constante \(a\) son metros por segundo al cuadrado (\(\text{m/s}^2\)), ya que está multiplicada por \(t^2\) en la ecuación \(x = ct^2 - bt^3\). De manera similar, las unidades de la constante \(b\) son metros por segundo al cubo (\(\text{m/s}^3\)), ya que está multiplicada por \(t^3\) en la misma ecuación.<br /><br />b) Con los valores numéricos de las constantes \(a = 3.0\) y \(b = 2.0\), la ecuación de posición se convierte en \(x = 3.0t^2 - 2.0t^3\).<br /><br />c) Para encontrar el tiempo en el que la partícula alcanza su valor máximo positivo de \(x\) entre \(t = 0.0 \, \text{s}\) y \(t = 4.0 \, \text{s}\), primero calculamos la velocidad de la partícula, que es la derivada de la ecuación de posición con respecto al tiempo:<br /><br />\[v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0t^2 - 2.0t^3) = 6.0t - 6.0t^2\]<br /><br />Luego, igualamos la velocidad a cero para encontrar los puntos críticos:<br /><br />\[6.0t - 6.0t^2 = 0\]<br /><br />\[6.0t(1 - t) = 0\]<br /><br />Esto nos da dos soluciones: \(t = 0\) y \(t = 1\). Evaluamos la segunda derivada de la ecuación de posición para determinar si estos puntos críticos son máximos o mínimos:<br /><br />\[a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6.0t - 6.0t^2) = 6.0 - 12.0t\]<br /><br />En \(t = 1\), \(a = 6.0 - 12.0(1) = -6.0\), lo que indica que \(t = 1\) es un máximo. Por lo tanto, la partícula alcanza su valor máximo positivo de \(x\) en \(t = 1.0 \, \text{s}\).<br /><br />d) Las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de la partícula son:<br /><br />\[v = \frac{dx}{dt} = 6.0t - 6.0t^2\]<br /><br />\[a = \frac{dv}{dt} = 6.0 - 12.0t\]