Encuentra la derivada del siguiente cociente y=(4x^2-16)/(x-2) y'=(12x^2-16x+16)/(x^2)-4x+4 y'=(4x^2-16x+16)/(x^2)-4x+4 y'=(4x^2+16x+16)/(x^2)+4x+4 y'=(4x^2-16x+16)/(x^2)+4x+4

Para encontrar la derivada del cociente \( y = \frac{4x^2 - 16}{x - 2} \), utilizamos la regla del cociente. La regla del cociente establece que si \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \), entonces su derivada es:<br /><br />\[ y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]<br /><br />Primero, identificamos \( u(x) \) y \( v(x) \):<br /><br />\[ u(x) = 4x^2 - 16 \]<br />\[ v(x) = x - 2 \]<br /><br />Ahora, calculamos las derivadas de \( u(x) \) y \( v(x) \):<br /><br />\[ u'(x) = 8x \]<br />\[ v'(x) = 1 \]<br /><br />Aplicamos la regla del cociente:<br /><br />\[ y' = \frac{(8x)(x - 2) - (4x^2 - 16)(1)}{(x - 2)^2} \]<br /><br />Simplificamos el numerador:<br /><br />\[ y' = \frac{8x^2 - 16x - 4x^2 + 16}{(x - 2)^2} \]<br />\[ y' = \frac{4x^2 - 16x + 16}{(x - 2)^2} \]<br /><br />Por lo tanto, la derivada de \( y = \frac{4x^2 - 16}{x - 2} \) es:<br /><br />\[ y' = \frac{4x^2 - 16x + 16}{(x - 2)^2} \]<br /><br />Ninguna de las opciones proporcionadas es correcta.