Find an nth-degree polynomial function with real coefficients satisfying the given conditions. If you are using a graphing utility.use it to graph the function and verify the real zeros and the given function value. n=3 4 and 5i are zeros; f(2)=58 f(x)=square (Type an expression using x as the variable ble. Simplify your answer.)

Para encontrar una función polinómica de grado \( n \) con coeficientes reales que satisfacen las condiciones dadas, primero identificamos los ceros y luego construimos el polinomio.<br /><br />Dado que \( n = 3 \) y los ceros son \( 4 \) y \( 5i \), recordamos que los polinomios con coeficientes reales tienen ceros conjugados. Por lo tanto, el cero conjugado de \( 5i \) es \( -5i \).<br /><br />Entonces, los ceros son \( 4 \), \( 5i \) y \( -5i \).<br /><br />La forma del polinomio es:<br />\[ f(x) = a(x - 4)(x - 5i)(x + 5i) \]<br /><br />Simplificamos los términos complejos:<br />\[ (x - 5i)(x + 5i) = x^2 - (5i)^2 = x^2 - (-25) = x^2 + 25 \]<br /><br />Entonces, la función se convierte en:<br />\[ f(x) = a(x - 4)(x^2 + 25) \]<br /><br />Ahora, usamos la condición \( f(2) = 58 \) para encontrar \( a \):<br />\[ f(2) = a(2 - 4)(2^2 + 25) = 58 \]<br />\[ f(2) = a(-2)(4 + 25) = 58 \]<br />\[ f(2) = a(-2)(29) = 58 \]<br />\[ -58a = 58 \]<br />\[ a = -1 \]<br /><br />Finalmente, sustituimos \( a \) en la función:<br />\[ f(x) = -1(x - 4)(x^2 + 25) \]<br /><br />Distribuimos:<br />\[ f(x) = -(x - 4)(x^2 + 25) \]<br />\[ f(x) = -(x^3 + 25x - 4x^2 - 100) \]<br />\[ f(x) = -x^3 + 4x^2 - 25x + 100 \]<br /><br />Por lo tanto, la función es:<br />\[ f(x) = -x^3 + 4x^2 - 25x + 100 \]