2:) Hallar =lim _(x arrow 0) (4 x^3-5 x^2+6)/(7 x-3 x^2)+9 x^(3)

Para encontrar el límite de la función dada, podemos simplificar la expresión y luego evaluarla en el punto \( x = 0 \).<br /><br />La función dada es:<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{4x^3 - 5x^2 + 6}{7x - 3x^2 + 4x^3} \]<br /><br />Primero, simplifiquemos el numerador y el denominador:<br /><br />1. **Numerador**: \( 4x^3 - 5x^2 + 6 \)<br />2. **Denominador**: \( 7x - 3x^2 + 4x^3 \)<br /><br />Ahora, factorizamos ambos términos:<br /><br />1. **Numerador**: \( 4x^3 - 5x^2 + 6 \)<br /> - No se puede factorizar fácilmente.<br /><br />2. **Denominador**: \( 7x - 3x^2 + 4x^3 \)<br /> - Factorizamos: \( x(7 - 3x + 4x^2) \)<br /><br />Entonces, la función se convierte en:<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{^3 - 5x^2 + 6}{x(7 - 3x + 4x^2)} \]<br /><br />Podemos simplificar dividiendo el numerador y el denominador por \( x \):<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^3 - 5x^2 + 6}{x}}{7 - 3x + 4x^2} \]<br /><br />Simplificamos el numerador:<br /><br />\[ \frac{4x^3 - 5x^2 + 6}{x} = 4x^2 - 5x + \frac{6}{x} \]<br /><br />Entonces, la función se convierte en:<br /><br />\[ \lim_{x \to \frac{4x^2 - 5x + \frac{6}{x}}{7 - 3x + 4x^2} \]<br /><br />Ahora, evaluamos el límite cuando \( x \to 0 \):<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{4x^2 - 5x + \frac{6}{x}}{7 - 3x + 4x^2} \]<br /><br />Observamos que el término \( \frac{6}{x} \) tiende a infinito cuando \( x \to 0 \). Esto hace que el numerador tienda a infinito, mientras que el denominador tiende a un valor finito (7). Por lo tanto, el límite no existe en este caso.<br /><br />La respuesta correcta es que el límite no existe debido a que el numerador tiende a infinito mientras el denominador tiende a un valor finito.