Ejercicio 6. Un auto está parado ante un semáforo. Después viaja en línea recta y su distancia respecto al semáforo está dado por x(t)=bt^2-ct^3 donde b=2.40m/s^2 y c=0.120m/s^3 a) Calcule la velocidad media del auto entre t=0yt=10.0s b) Calcule la velocidad instantánea en i) t=0,ii)t=5.00s y iii) t=10.0s c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar vuelve a estar parado el auto ?

a) Para calcular la velocidad media del auto entre \( t = 0 \) y \( t = 10.0 \) s, primero necesitamos encontrar la distancia total recorrida por el auto en ese intervalo de tiempo. La distancia se puede calcular integrando la función \( x(t) \) con respecto al tiempo \( t \) en el intervalo dado.<br /><br />\[ \text{Distancia total} = \int_{0}^{10} (bt^2 - ct^3) \, dt \]<br /><br />Integrando la función \( x(t) \) con respecto al tiempo \( t \) en el intervalo de \( 0 \) a \( 10 \) s, obtenemos la distancia total recorrida por el auto.<br /><br />\[ \text{Distancia total} = \left[ \frac{b}{3}t^3 - \frac{c}{4}t^4 \right]_{0}^{10} \]<br /><br />Sustituyendo los valores de \( b \) y \( c \) y evaluando la integral en los límites \( 0 \) y \( 10 \), obtenemos la distancia total recorrida por el auto.<br /><br />\[ \text{Distancia total} = \left[ \frac{2.40}{3}(10)^3 - \frac{0.120}{4}(10)^4 \right] - \left[ \frac{2.40}{3}(0)^3 - \frac{0.120}{4}(0)^4 \right] \]<br /><br />\[ \text{Distancia total} = \left[ \frac{2.40}{3}(1000) - \frac{0.120}{4}(10000) \right] - \left[ 0 - 0 \right] \]<br /><br />\[ \text{Distancia total} = \left[ 800 - 300 \right] - 0 \]<br /><br />\[ \text{Distancia total} = 500 \, \text{m} \]<br /><br />Ahora, podemos calcular la velocidad media dividiendo la distancia total entre el tiempo total transcurrido.<br /><br />\[ \text{Velocidad media} = \frac{\text{Distancia total}}{\text{Tiempo total}} \]<br /><br />\[ \text{Velocidad media} = \frac{500 \, \text{m}}{10 \, \text{s}} \]<br /><br />\[ \text{Velocidad media} = 50 \, \text{m/s} \]<br /><br />Por lo tanto, la velocidad media del auto entre \( t = 0 \) y \( t = 10.0 \) s es de \( 50 \, \text{m/s} \).<br /><br />b) Para calcular la velocidad instantánea en \( t = 0 \), simplemente evaluamos la función \( x(t) \) en \( t = 0 \).<br /><br />\[ x(0) = b(0)^2 - c(0)^3 \]<br /><br />\[ x(0) = 0 - 0 \]<br /><br />\[ x(0) = 0 \]<br /><br />Por lo tanto, la velocidad instantánea en \( t = 0 \) es \( 0 \, \text{m/s} \).<br /><br />Para calcular la velocidad instantánea en \( t = 5.00 \) s, evaluamos la función \( x(t) \) en \( t = 5.00 \).<br /><br />\[ x(5.00) = b(5.00)^2 - c(5.00)^3 \]<br /><br />\[ x(5.00) = 2.40(25.00) - 0.120(125.00) \]<br /><br />\[ x(5.00) = 60.00 - 15.00 \]<br /><br />\[ x(5.00) = 45.00 \, \text{m} \]<br /><br />Para calcular la velocidad instantánea en \( t = 10.0 \) s, evaluamos la función \( x(t) \) en \( t = 10.0 \).<br /><br />\[ x(10.0) = b(10.0)^2 - c(10.0)^3 \]<br /><br />\[ x(10.0) = 2.40(100.00) - 0.120(1000.00) \]<br /><br />\[ x(10.0) = 240.00 - 120.00 \]<br /><br />\[ x(10.0) = 120.00 \, \text{m} \]<br /><br />c) Para determinar cuánto tiempo después de arrancar vuelve a estar parado el auto, necesitamos encontrar el tiempo en el que la velocidad es igual a cero. La velocidad se puede calcular tomando la derivada de la función \( x(t) \) con respecto al tiempo \( t \).<br /><br />\[ v(t) = \