operatorname(Demostrar)=lim _(x arrow 0) (1-cos x)/(x)=0

Para demostrar que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x} = 0$, podemos utilizar la definición de límite y la continuidad de la función coseno.<br /><br />Primero, recordemos que la función coseno es continua en todos los puntos, incluyendo $x = 0$. Esto significa que $\cos(x)$ es definida y continua en $x = 0$.<br /><br />Ahora, consideremos la expresión $\frac{\cos(x)}{x}$. Para evaluar este límite, podemos utilizar la definición de límite:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - \cos(0)}{x - 0}$<br /><br />Simplificando la expresión, obtenemos:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}$<br /><br />Para evaluar este límite, podemos utilizar la regla de L'Hôpital, que establece que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ es indeterminado, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ también es indeterminado.<br /><br />Aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos:<br /><br />$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\cos(x) - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{1} = 0$<br /><br />Por lo tanto, hemos demostrado que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x} = 0$.