Calcule: int _(1)^6(3x^2dx)/(1+x^3) Integrando por el método del Simpson.

Para calcular la integral \(\int_{1}^{6} \frac{3x^2}{1+x^3} \, dx\) utilizando el método del Simpson, primero dividimos el intervalo de integración en subintervalos. En este caso, dividimos el intervalo \([1, 6]\) en 4 subintervalos iguales.<br /><br />Los puntos de división son:<br />- \(x_0 = 1\)<br />- \(x_1 = 2\)<br />- \(x_2 = 3\)<br />- \(x_3 = 4\)<br />- \(x_4 = 5\)<br />- \(x_5 = 6\)<br /><br />Ahora, aplicamos la fórmula del Simpson para cada subintervalo:<br /><br />\[ \int_{1}^{6} \frac{3x^2}{1+x^3} \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + f(x_5) \right] \]<br /><br />Donde \(h\) es la longitud de cada subintervalo, que se calcula como:<br /><br />\[ h = \frac{b - a}{n} = \frac{6 - 1}{4} = 1.25 \]<br /><br />Ahora, evaluamos la función \(f(x) = \frac{3x^2}{1+x^3}\) en cada punto de división:<br /><br />\[ f(x_0) = f(1) = \frac{3(1)^2}{1+(1)^3} = \frac{3}{2} \]<br />\[ f(x_1) = f(2) = \frac{3(2)^2}{1+(2)^3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \]<br />\[ f(x_2) = f(3) = \frac{3(3)^2}{1+(3)^3} = \frac{27}{28} \]<br />\[ f(x_3) = f(4) = \frac{3(4)^2}{1+(4)^3} = \frac{48}{65} \]<br />\[ f(x_4) = f(5) = \frac{3(5)^2}{1+(5)^3} = \frac{75}{156} \]<br />\[ f(x_5) = f(6) = \frac{3(6)^2}{1+(6)^3} = \frac{108}{215} \]<br /><br />Sustituyendo estos valores en la fórmula del Simpson:<br /><br />\[ \int_{1}^{6} \frac{3x^2}{1+x^3} \, dx \approx \frac{1.25}{3} \left[ \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{27}{28} + 4 \cdot \frac{48}{65} + 2 \cdot \frac{75}{156} + \frac{108}{215} \right] \]<br /><br />Simplificando la expresión:<br /><br />\[ \approx \frac{1.25}{3} \left[ \frac{3}{2} + \frac{16}{3} + \frac{54}{28} + \frac{192}{65} + \frac{150}{156}{108}{215} \right] \]<br /><br />\[ \approx \frac{1.25}{3} \left[ \frac{3}{2} + \frac{16}{3} + \frac{27}{14} + \frac{192}{65} + \frac{75}{39} + \frac{108}{215} \right] \]<br /><br />\[ \approx \frac{1.25} \ \frac{3}{2} + \frac{16}{3} + \frac{27}{14} + \frac{192}{65} + \frac{75}{39} + \frac{108}{215} \right] \]<br /><br />Finalmente, sumamos los términos y multiplicamos por \(\frac{1.25}{3}\) para obtener el resultado aproximado de la integral utilizando el método del Simpson.