El área de un cuadrado es A=L^2 Si su longitud crece a razón de 3cm/seg, encontrar la razón de cambio de su área, si la longitud del cuadrado es de 5 cm. 30cm^2/seg 45cm^2/seg 75cm^2/seg 20cm^2/seg

Para encontrar la razón de cambio de la área del cuadrado, primero necesitamos encontrar la relación entre el área y la longitud del cuadrado. Dado que el área de un cuadrado se calcula como $A = L^2$, podemos encontrar la relación de cambio de la longitud con respecto al área tomando la derivada de la fórmula del área con respecto a la longitud.<br /><br />La derivada de $A = L^2$ con respecto a $L$ es $\frac{dA}{dL} = 2L$.<br /><br />Ahora, podemos encontrar la razón de cambio de la área con respecto al tiempo tomando la derivada de la fórmula del área con respecto al tiempo $t$.<br /><br />$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dL} \cdot \frac{dL}{dt} = 2L \cdot \frac{dL}{dt}$.<br /><br />Dado que la longitud del cuadrado crece a una razón de $3 \, \text{cm/seg}$, podemos sustituir $\frac{dL}{dt} = 3 \, \text{cm/seg}$ en la fórmula anterior.<br /><br />$\frac{dA}{dt} = 2L \cdot 3 = 6L$.<br /><br />Finalmente, podemos encontrar la razón de cambio de la área cuando la longitud del cuadrado es de $5 \, \text{cm}$ sustituyendo $L = 5 \, \text{cm}$ en la fórmula anterior.<br /><br />$\frac{dA}{dt} = 6 \cdot 5 = 30 \, \text{cm}^2/\text{seg}$.<br /><br />Por lo tanto, la razón de cambio de la área cuando la longitud del cuadrado es de $5 \, \text{cm}$ es $30 \, \text{cm}^2/\text{seg}$.