Diseño de un tanque de base cuadrada. La fundidora donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque rectangular de acero, de base cuadrada, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.

Respuesta ajustada:<br><br>Para minimizar el peso del tanque con una capacidad fija de 500 pies³, queremos minimizar la superficie del material, ya que las dimensiones del tanque se traducen proporcionalmente en superficie y, por tanto, en peso.<br><br>Designamos como "a" la longitud de los lados de la base del tanque y "h" su altura. Como el tanque es un prisma de base cuadrada, su volumen es V = a² * h. Como sabemos que el volumen V es de 500 pies³, podemos expresar h = 500/a².<br><br>El área superficial del tanque, que es proporcional al peso del tanque, es: A = a² + 4ah. Sustituimos h en esta expresión para obtener: A= a² + 2000/a.<br><br>Buscamos minimizar esta ecuación derivándola e igualándola a cero para encontrar su punto crítico. Empezamos derivando para obtener: A' = 2a - 2000/a². Igualar a cero nos da (2a³ - 2000)= 0 pies³, de donde obtenemos a³ = 1000 pies³. Entonces, a = ∛1000 = 10 pies.<br><br>Para verificar que es un mínimo, revisamos la segunda derivada, A'' = 2 + 4000/a³. A'' evaluada en a=10 es 6, que es mayor que cero. Eso indica que la función tiene un mínimo en a=10.<br><br>Sustituyendo el valor de a en la ecuación de h obtenemos h = 500 / a² = 500 / (10)² = 5 pies.<br><br>Por lo tanto, el tanque debe tener una base cuadrada de 10 pies por lado y una altura de 5 pies para minimizar su peso.