Ejercicio 4. El tejado de una casa forma un ángulo de 30.0^circ con la horizontal. Una pelota cae rodando sobre el tejado y lo abandona con una velocidad de 5.00m/s La distancia vertical entre el extremo del tejado y el suelo es de 7.00 m. a) Escribe las ecuaciones de movimiento de a pelota. b) ¿Durante cuánto tiempo la pelota está en el aire? c) ¿A qué distancia de la base de la casa cae al suelo? d) ¿Cuál es la dirección y el módulo de la velocidad justo en el momento que llega al suelo?

a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota son:<br /><br />1. \( y = y_0 + v_{y0}t + \frac{1}{2}at^2 \)<br />2. \( v_y = v_{y0} + at \)<br /><br />Donde:<br />- \( y \) es la posición vertical de la pelota en el tiempo \( t \).<br />- \( y_0 \) es la posición inicial vertical de la pelota.<br />- \( v_{y0} \) es la velocidad inicial vertical de la pelota.<br />- \( a \) es la aceleración debida a la gravedad.<br />- \( t \) es el tiempo transcurrido.<br /><br />b) Para determinar el tiempo que la pelota está en el aire, podemos usar la ecuación de movimiento vertical y la información dada:<br /><br />\( y = y_0 + v_{y0}t + \frac{1}{2}at^2 \)<br /><br />Dado que la pelota cae desde una altura de 7.00 m y su velocidad inicial vertical es 0 (ya que cae desde el reposo), podemos simplificar la ecuación a:<br /><br />\( 7.00 = \frac{1}{2}at^2 \)<br /><br />Sustituyendo \( a = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debida a la gravedad), obtenemos:<br /><br />\( 7.00 = \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2 \)<br /><br />\( t^2 = \frac{14.00}{9.81} \)<br /><br />\( t \approx 1.37 \, \text{s} \)<br /><br />Por lo tanto, la pelota está en el aire durante aproximadamente 1.37 segundos.<br /><br />c) Para determinar la distancia horizontal que recorre la pelota antes de caer al suelo, podemos usar la información dada y la trigonometría. Sabemos que el ángulo del techo es de \( 30.0^{\circ} \), lo que significa que la pelota se mueve horizontalmente a una velocidad constante de \( 5.00 \, \text{m/s} \) durante el tiempo que está en el aire.<br /><br />La distancia horizontal que recorre la pelota se puede calcular como:<br /><br />\( x = v_x \cdot t \)<br /><br />Donde \( v_x \) es la velocidad horizontal de la pelota.<br /><br />\( v_x = v \cdot \cos(30.0^{\circ}) \)<br /><br />\( v_x = 5.00 \cdot \cos(30.0^{\circ}) \)<br /><br />\( v_x \approx 4.33 \, \text{m/s} \)<br /><br />Sustituyendo \( t \approx 1.37 \, \text{s} \), obtenemos:<br /><br />\( x \approx 4.33 \cdot 1.37 \)<br /><br />\( x \approx 5.96 \, \text{m} \)<br /><br />Por lo tanto, la pelota cae al suelo a una distancia horizontal de aproximadamente 5.96 metros de la base de la casa.<br /><br />d) Para determinar la dirección y el módulo de la velocidad justo en el momento en que la pelota llega al suelo, podemos usar las ecuaciones de movimiento y la información dada.<br /><br />La velocidad vertical de la pelota justo antes de tocar el suelo se puede calcular como:<br /><br />\( v_y = v_{y0} + at \)<br /><br />Dado que \( v_{y0} = 0 \) y \( t \approx 1.37 \, \text{s} \), obtenemos:<br /><br />\( v_y \approx 9.81 \cdot 1.37 \)<br /><br />\( v_y \approx 13.50 \, \text{m/s} \)<br /><br />La velocidad horizontal de la pelota permanece constante en \( 5.00 \, \text{m/s} \).<br /><br />Por lo tanto, la velocidad total de la pelota justo antes de tocar el suelo se puede calcular como:<br /><br />\( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)<br /><br />\( v = \sqrt{(5.00)^2 + (13.50)^2} \)<br /><br />\( v \approx 14.17 \, \text{m/s} \)<br /><br />La dirección de la velocidad es hacia abajo, ya que la pelota está cayendo hacia el suelo.<br /><br />Por lo tanto, la dirección y el módulo de la velocidad justo en el momento en que la pelota llega al suelo son hacia abajo y aproximadamente \( 14.17 \, \text{m/s} \).