Un punto se mueve por una circunferencia de 12 metros de radio. Su velocidad tiene un módulo variable con el tiempo según la expresión v=5t+2 . ¿Cuánto valdrá el módulo de su aceleración para t=2s ? a) 3m//s^(2) b) 5m//s^(2) c) 10m//s^(2) d) 13m//s^(2) e) 15m//s^(2)

<p> Para resolver este problema, necesitamos usar conceptos de cinemática circular. La pregunta nos pide calcular el módulo de la aceleración de un punto que se mueve a lo largo de una circunferencia, con una velocidad cuyo módulo varía en función del tiempo, según la fórmula \(v = 5t + 2\).<br /><br />La aceleración en movimiento circular se puede dividir en dos componentes: la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta. La aceleración tangencial es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, y la aceleración centrípeta es la que mantiene al objeto en una trayectoria circular, calculada como \(v^2 / r\), donde \(v\) es la velocidad y \(r\) es el radio de la circunferencia.<br /><br />1. **Cálculo de la aceleración tangencial**: La aceleración tangencial (\(a_t\)) es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Dado \(v = 5t + 2\), la aceleración tangencial será la derivada de esta expresión respecto a \(t\), que es \(5\) m/s^2.<br /><br />2. **Cálculo de la aceleración centrípeta**: Para \(t = 2\) segundos, primero encontramos la velocidad: \(v = 5(2) + 2 = 12\) m/s. El radio de la circunferencia es \(12\) metros. La aceleración centrípeta (\(a_c\)) se calcula como \(v^2 / r\), lo que resulta en \(12^2 / 12 = 12\) m/s^2.<br /><br />3. **Cálculo de la aceleración total**: La aceleración total es la suma vectorial de la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta. Sin embargo, como estas aceleraciones son perpendiculares entre sí en el movimiento circular, podemos encontrar la magnitud de la aceleración total usando el teorema de Pitágoras: \(a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}\). Sustituyendo los valores obtenidos, tenemos \(a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) m/s^2.<br /><br />Por lo tanto, la respuesta correcta es d) 13 m/s^2.</p>