¿Cuál es la derivada del cociente (2x+5)/(x^2)

Para encontrar la derivada del cociente \(\frac{2x+5}{x^2}\), podemos usar la regla del cociente. La regla del cociente establece que si tenemos una función \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\), entonces su derivada es:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]<br /><br />En este caso, \(u(x) = 2x + 5\) y \(v(x) = x^2\). Primero, encontramos las derivadas de \(u(x)\) y \(v(x)\):<br /><br />\[ u'(x) = 2 \]<br />\[ v'(x) = 2x \]<br /><br />Ahora aplicamos la regla del cociente:<br /><br />\[ \left(\frac{2x+5}{x^2}\right)' = \frac{(2)(x^2) - (2x+5)(2x)}{(x^2)^2} \]<br /><br />Simplificamos el numerador:<br /><br />\[ = \frac{2x^2 - (2x+5)(2x)}{x^4} \]<br />\[ = \frac{2x^2 - 4x^2 - 10x}{x^4} \]<br />\[ = \frac{-2x^2 - 10x}{x^4} \]<br /><br />Finalmente, simplificamos la fracción:<br /><br />\[ = \frac{-2x(x + 5)}{x^4} \]<br />\[ = \frac{-2(x + 5)}{x^3} \]<br /><br />Por lo tanto, la derivada de \(\frac{2x+5}{x^2}\) es \(\frac{-2(x + 5)}{x^3}\).