Let overrightarrow (u)=langle 7,-7,-4rangle and overrightarrow (v)=langle -4,3,1rangle Compute the following: overrightarrow (u)times overrightarrow (v)=square overrightarrow (v)times overrightarrow (u)=square overrightarrow (u)times overrightarrow (u)=square -9(overrightarrow (u)times overrightarrow (v))=square overrightarrow (u)times (-9overrightarrow (v))=square (overrightarrow (u)+overrightarrow (v))times overrightarrow (v)=square

Para calcular el producto cruz $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$, podemos usar la fórmula:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & -7 & -4 \\ -4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$<br /><br />Calculando el determinante, obtenemos:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \hat{i}(7 \cdot 1 - (-4) \cdot 3) - \hat{j}(7 \cdot 1 - (-4) \cdot (-4)) + \hat{k}(7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4))$<br /><br />Simplificando, obtenemos:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \hat{i}(7 + 12) - \hat{j}(7 - 16) + \hat{k}(21 - 28) = 19\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$<br /><br />Por lo tanto, $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \langle 19, -9, -7 \rangle$.<br /><br />Ahora, para calcular $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}$, simplemente cambiamos el orden de los vectores y cambiamos el signo del resultado:<br /><br />$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} = -(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) = -\langle 19, -9, -7 \rangle = \langle -19, 9, 7 \rangle$<br /><br />Para $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u}$, el resultado es el vector cero:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} = \langle 0, 0, 0 \rangle$<br /><br />Para $-9(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})$, simplemente multiplicamos el resultado por $-9$:<br /><br />$-9(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) = -9 \langle 19, -9, -7 \rangle = \langle -171, 81, 63 \rangle$<br /><br />Para $\overrightarrow{u} \times (-9\overrightarrow{v})$, podemos distribuir el $-9$ dentro del producto cruz:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times (-9\overrightarrow{v}) = -9(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) = \langle -171, 81, 63 \rangle$<br /><br />Finalmente, para $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v}$, primero sumamos los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \langle 7 + (-4), -7 + 3, -4 + 1 \rangle = \langle 3, -4, -3 \rangle$<br /><br />Ahora calculamos el producto cruz con $\overrightarrow{v}$:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & -3 \\ -4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$<br /><br />Calculando el determinante, obtenemos:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \hat{i}(3 \cdot 1 - (-3) \cdot 3) - \hat{j}(3 \cdot 1 - (-3) \cdot (-4)) + \hat{k}(3 \cdot 3 - (-4) \cdot (-4))$<br /><br />Simplificando, obtenemos:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \hat{i}(3 + 9) - \hat{j}(3 - 12) + \hat{k}(9 - 16) = 12\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$<br /><br />Por lo tanto, $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \langle 12, -9, -7 \rangle$.