Let overrightarrow (u)=langle -4,4,-2rangle and overrightarrow (v)=langle 4,7,-2rangle Compute the following: overrightarrow (u)times overrightarrow (v)=square overrightarrow (v)times overrightarrow (u)=square overrightarrow (u)times overrightarrow (u)=square (overrightarrow (u)+overrightarrow (v))times overrightarrow (v)=square

Para calcular el producto cruz $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$, podemos usar la fórmula:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 4 & -2 \\ 4 & 7 & -2 \end{vmatrix}$<br /><br />Calculando el determinante, obtenemos:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(4 \cdot (-2) - (-2) \cdot 7) - \mathbf{j}((-4) \cdot (-2) - (-2) \cdot 4) + \mathbf{k}((-4) \cdot 7 - 4 \cdot 4)$<br /><br />Simplificando, tenemos:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(-8 + 14) - \mathbf{j}(8 + 8) + \mathbf{k}(-28 - 16)$<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(6) - \mathbf{j}(16) + \mathbf{k}(-44)$<br /><br />Por lo tanto, $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \langle 6, -16, -44 \rangle$.<br /><br />Ahora, para calcular $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}$, simplemente cambiamos el orden de los vectores y cambiamos el signo del resultado:<br /><br />$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = -\langle 6, -16, -44 \rangle = \langle -6, 16, 44 \rangle$.<br /><br />Para $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u}$, el resultado es el vector cero, ya que el producto cruz de un vector consigo mismo siempre es cero:<br /><br />$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} = \langle 0, 0, 0 \rangle$.<br /><br />Finalmente, para $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v}$, primero sumamos los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$:<br /><br />$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \langle -4 + 4, 4 + 7, -2 + (-2) \rangle = \langle 0, 11, -4 \rangle$<br /><br />Ahora calculamos el producto cruz con $\overrightarrow{v}$:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \langle 0, 11, -4 \rangle \times \langle 4, 7, -2 \rangle$<br /><br />Calculando el determinante, obtenemos:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(11 \cdot (-2) - (-4) \cdot 7) - \mathbf{j}(0 \cdot (-2) - (-4) \cdot 4) + \mathbf{k}(0 \cdot 7 - 11 \cdot 4)$<br /><br />Simplificando, tenemos:<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(-22 + 28) - \mathbf{j}(0 + 16) + \mathbf{k}(0 - 44)$<br /><br />$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(6) - \mathbf{j}(16) + \mathbf{k}(-44)$<br /><br />Por lo tanto, $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{v} = \langle 6, -16, -44 \rangle$.