Find the volume of the parallelepiped determined by the vectors overrightarrow (a)=langle 3,4,-1rangle ,overrightarrow (b)=langle 0,4,2rangle overrightarrow (c)=langle 2,4,1rangle Volume=square cubic-units

Para encontrar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores $\overrightarrow{a} = \langle 3, 4, -1 \rangle$, $\overrightarrow{b} = \langle 0, 4, 2 \rangle$ y $\overrightarrow{c} = \langle 2, 4, 1 \rangle$, podemos usar la fórmula del determinante.<br /><br />El volumen del paralelepípedo se calcula como el valor absoluto del determinante de la matriz formada por los componentes de los vectores $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{c}$.<br /><br />$\text{Volume} = |\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})|$<br /><br />Calculamos el determinante:<br /><br />$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix}$<br /><br />Expansión por cofactores:<br /><br />$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$<br /><br />Calculamos los determinantes de 2x2:<br /><br />$\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 4 - 8 = -4$<br /><br />$\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 0 - 4 = -4$<br /><br />$\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 0 - 8 = -8$<br /><br />Sustituimos los valores en la expansión:<br /><br />$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = 3 \cdot (-4) - 4 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-8)$<br /><br />$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = -12 + 16 + 8$<br /><br />$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = 12$<br /><br />Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es:<br /><br />$\text{Volume} = |12| = 12 \text{ unidades cúbicas}$