Resuelve la siguiente integral: int cot(12x)dx= a) (1)/(12)lnvert sen(12x)vert +c b) -(1)/(12)lnvert sen(12x)vert +c 12lnvert sen(12x)vert +c d) lnvert sen(12x)vert +c

La respuesta correcta es la opción b) $-\frac {1}{12}ln\vert sen(12x)\vert +c$.<br /><br />Para resolver esta integral, podemos utilizar la fórmula de integración por partes. La fórmula de integración por partes establece que si tenemos dos funciones $u(x)$ y $v(x)$, entonces la integral de $u(x)v'(x)$ es igual a $u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$.<br /><br />En este caso, podemos tomar $u(x) = \ln\vert sen(12x)\vert$ y $v'(x) = \cot(12x)$. Entonces, tenemos que $u'(x) = \frac{1}{\vert sen(12x)\vert}\cdot\frac{d}{dx}\vert sen(12x)\vert = \frac{1}{\vert sen(12x)\vert}\cdot\cos(12x)$ y $v(x) = -\frac{1}{12}\ln\vert sen(12x)\vert$.<br /><br />Aplicando la fórmula de integración por partes, obtenemos:<br /><br />$\int \cot(12x)dx = \ln\vert sen(12x)\vert\cdot\left(-\frac{1}{12}\right) - \int \left(-\frac{1}{12}\right)\cdot\frac{1}{\vert sen(12x)\vert}\cdot\cos(12x)dx$<br /><br />Simplificando la integral en el lado derecho, obtenemos:<br /><br />$\int \cot(12x)dx = -\frac{1}{12}\ln\vert sen(12x)\vert - \int \frac{1}{12\vert sen(12x)\vert}\cdot\cos(12x)dx$<br /><br />La integral en el lado derecho se puede resolver utilizando la sustitución $u = \sin(12x)$, lo que nos da:<br /><br />$\int \frac{1}{12\vert u\vert}\cdot\cos(12x)dx = \frac{1}{12}\int \frac{1}{\vert u\vert}\cdot\cos(12x)dx$<br /><br />Simplificando la integral, obtenemos:<br /><br />$\int \frac{1}{12\vert u\vert}\cdot\cos(12x)dx = \frac{1}{12}\int \frac{1}{\vert u\vert}\cdot\cos(12x)dx$<br /><br />Finalmente, podemos resolver la integral utilizando la fórmula de integración de la función cosecante, lo que nos da:<br /><br />$\int \frac{1}{\vert u\vert}\cdot\cos(12x)dx = \ln\vert u\vert + C$<br /><br />Sustituyendo $u = \sin(12x)$, obtenemos:<br /><br />$\int \frac{1}{\vert \sin(12x)\vert}\cdot\cos(12x)dx = \ln\vert \sin(12x)\vert + C$<br /><br />Sustituyendo este resultado en la integral original, obtenemos:<br /><br />$\int \cot(12x)dx = -\frac{1}{12}\ln\vert \sin(12x)\vert - \left(-\frac{1}{12}\ln\vert \sin(12x)\vert + C\right)$<br /><br />Simplificando la expresión, obtenemos:<br /><br />$\int \cot(12x)dx = -\frac{1}{12}\ln\vert \sin(12x)\vert + C$<br /><br />Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b) $-\frac {1}{12}ln\vert sen(12x)\vert +c$.