y=(x sqrt(2 x+1))/(sqrt(4-5 x))

Para encontrar la derivada de la función \( y = \frac{x\sqrt{2x+1}}{\sqrt{4-5x}} \), utilizaremos la regla del cociente y la regla de la cadena.<br /><br />Primero, definamos las funciones \( u(x) \) y \( v(x) \) como:<br /><br />\[ u(x) = x\sqrt{2x+1} \]<br />\[ v(x) = \sqrt{4-5x} \]<br /><br />Entonces, la función \( y \) se puede escribir como:<br /><br />\[ y = \frac{u(x)}{v(x)} \]<br /><br />Para encontrar la derivada de \( y \) con respecto a \( x \), utilizamos la regla del cociente:<br /><br />\[ y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]<br /><br />Ahora, necesitamos encontrar las derivadas de \( u(x) \) y \( v(x) \).<br /><br />Para \( u(x) = x\sqrt{2x+1} \), utilizamos la regla del producto y la regla de la cadena:<br /><br />\[ u'(x) = \sqrt{2x+1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 \]<br />\[ u'(x) = \sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \]<br /><br />Para \( v(x) = \sqrt{4-5x} \), utilizamos la regla de la cadena:<br /><br />\[ v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4-5x}} \cdot (-5) \]<br />\[ v'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{4-5x}} \]<br /><br />Ahora, sustituimos \( u'(x) \), \( v'(x) \), \( u(x) \) y \( v(x) \) en la fórmula de la regla del cociente:<br /><br />\[ y' = \frac{\left(\sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\right)\sqrt{4-5x} - x\sqrt{2x+1} \cdot \left(-\frac{5}{2\sqrt{4-5x}}\right)}{(\sqrt{4-5x})^2} \]<br /><br />Simplificamos la expresión:<br /><br />\[ y' = \frac{\sqrt{4-5x}\sqrt{2x+1} + \frac{x\sqrt{4-5x}}{\sqrt{2x+1}} + \frac{5x\sqrt{2x+1}}{2\sqrt{4-5x}}}{4-5x} \]<br /><br />Finalmente, combinamos los términos en una sola fracción:<br /><br />\[ y' = \frac{2(2x+1)\sqrt{4-5x} + 5x\sqrt{2x+1}}{2(4-5x)\sqrt{2x+1}} \]<br /><br />Esta es la derivada de la función \( y \) con respecto a \( x \).