Deriva por la regla de la cadena y=(1)/(sqrt [3](x-1)) y'=(1)/(sqrt [4]((x-1)^3)) y'=(-1)/(3sqrt [3]((x-1)^4)) y'=(1)/(sqrt ((x-1)^4)) y'=(1)/(sqrt [3](x-1))

Para derivar la función \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \) utilizando la regla de la cadena, primero reescribimos la función en una forma que sea más fácil de manejar:<br /><br />\[ y = (x-1)^{-\frac{1}{3}} \]<br /><br />Ahora aplicamos la regla de la cadena, que dice que si \( y = f(u) \) y \( u = g(x) \), entonces \( y' = f'(u) \cdot g'(x) \).<br /><br />En este caso, \( f(u) = u^{-\frac{1}{3}} \) y \( u = g(x) = x-1 \).<br /><br />Primero derivamos \( f(u) \) con respecto a \( u \):<br /><br />\[ f'(u) = -\frac{1}{3} u^{-\frac{4}{3}} \]<br /><br />Luego derivamos \( g(x) \) con respecto a \( x \):<br /><br />\[ g'(x) = 1 \]<br /><br />Ahora aplicamos la regla de la cadena:<br /><br />\[ y' = f'(u) \cdot g'(x) = -\frac{1}{3} (x-1)^{-\frac{4}{3}} \cdot 1 \]<br /><br />Simplificamos la expresión:<br /><br />\[ y' = -\frac{1}{3} (x-1)^{-\frac{4}{3}} \]<br /><br />Finalmente, podemos reescribir esta expresión en una forma más familiar:<br /><br />\[ y' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(x-1)^{\frac{4}{3}}} \]<br /><br />O bien,<br /><br />\[ y' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^4}} \]<br /><br />Por lo tanto, la derivada de \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \) es:<br /><br />\[ y' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^4}} \]<br /><br />Esta es la respuesta correcta utilizando la regla de la cadena.