¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representa un sistema homogéneo? a. 2x+y+3z=0 4x+2y+z=1 x_(1)+3x_(2)-5x_(3)=1 b. x_(1)+2x_(2)-x_(3)=5 3x_(1)+2x_(2)+4x_(3)=18 C. 2x-3y+4z=8 y-3z=-7 3x_(1)+4x_(2)-3x_(3)=0 d. 6x_(1)-x_(2)-5x_(3)=0 7x_(1)-2x_(2)-5x_(3)=0

Un sistema de ecuaciones es homogéneo si todas las ecuaciones del sistema tienen solución trivial, es decir, el vector nulo es la única solución. Esto significa que si se establecen las variables de las ecuaciones en cero, la ecuación será verdadera.<br /><br />Vamos a analizar cada opción:<br /><br />a. $2x+y+3z=0$ $4x+2y+z=1$ $x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=1$<br /><br />Este sistema tiene solución trivial, ya que si establecemos todas las variables en cero, las ecuaciones se cumplen.<br /><br />b. $x_{1}+2x_{2}-x_{3}=5$ $3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=18$ $3x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=0$<br /><br />Este sistema no tiene solución trivial, ya que si establecemos todas las variables en cero, las ecuaciones no se cumplen.<br /><br />c. $2x-3y+4z=8$ $y-3z=-7$ $3x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=0$<br /><br />Este sistema tiene solución trivial, ya que si establecemos todas las variables en cero, las ecuaciones se cumplen.<br /><br />d. $6x_{1}-x_{2}-5x_{3}=0$ $7x_{1}-2x_{2}-5x_{3}=0$<br /><br />Este sistema tiene solución trivial, ya que si establecemos todas las variables en cero, las ecuaciones se cumplen.<br /><br />Por lo tanto, las opciones correctas son las a y c. Ambos sistemas son homogéneos.