12 int (1-(1)/(x))^3x^-2dx

Para resolver la integral \( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx \), podemos simplificar la expresión dentro de la integral y luego aplicar la regla de integración por partes.<br /><br />Primero, vamos a simplificar la expresión dentro de la integral:<br /><br />\( (1-\frac{1}{x})^{3} = (1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x}) \)<br /><br />Expandiendo esta expresión, obtenemos:<br /><br />\( (1-\frac{1}{x})^{3} = 1 - 3\frac{1}{x} + 3\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} \)<br /><br />Ahora, podemos reescribir la integral original:<br /><br />\( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx = \int (1 - 3\frac{1}{x} + 3\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3})x^{-2}dx \)<br /><br />Simplificando cada término, obtenemos:<br /><br />\( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx = \int (x^{-2} - 3x^{-3} + 3x^{-4} - x^{-5})dx \)<br /><br />Ahora, podemos aplicar la regla de integración por partes para resolver la integral:<br /><br />\( \int (x^{-2} - 3x^{-3} + 3x^{-4} - x^{-5})dx = \int x^{-2}dx - 3\int x^{-3}dx + 3\int x^{-4}dx - \int x^{-5}dx \)<br /><br />Integrando cada término por separado, obtenemos:<br /><br />\( \int x^{-2}dx = -x^{-1} \)<br />\( -3\int x^{-3}dx = 3x^{-2} \)<br />\( 3\int x^{-4}dx = -3x^{-3} \)<br />\( -\int x^{-5}dx = \frac{1}{4}x^{-4} \)<br /><br />Sumando todos los términos, obtenemos la respuesta final:<br /><br />\( \int (1-\frac{1}{x})^{3}x^{-2}dx = -x^{-1} + 3x^{-2} - 3x^{-3} + \frac{1}{4}x^{-4} + C \)<br /><br />Donde \( C \) es la constante de integración.