Ejercicio 3 - Calcular el volumen de revolución que se genera entre las curvas: f(x)=4x-x^2,g(x)=(2x)/(3) limitado por las rectas x=0,x=3

Para calcular el volumen de revolución entre las curvas \( f(x) = 4x - x^2 \) y \( g(x) = \frac{2x}{3} \), limitado por las rectas \( x = 0 \) y \( x = 3 \), utilizamos el método de discos.<br /><br />Primero, encontramos los puntos de intersección de las curvas:<br /><br />\[ 4x - x^2 = \frac{2x}{3} \]<br /><br />Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador:<br /><br />\[ 12x - 3x^2 = 2x \]<br /><br />Reorganizamos la ecuación:<br /><br />\[ 3x^2 - 10x = 0 \]<br /><br />Factorizamos:<br /><br />\[ x(3x - 10) = 0 \]<br /><br />Entonces, los puntos de intersección son \( x = 0 \) y \( x = \frac{10}{3} \).<br /><br />El volumen de revolución se calcula como:<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{10}{3}} \left[ (4x - x^2)^2 - \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \right] \, dx \]<br /><br />Simplificamos la integral:<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{10}{3}} \left[ 16x^2 - 8x^3 + x^4 - \frac{4x^2}{9} \right] \, dx \]<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{10}{3}} \left[ \frac{144x^2}{9} - \frac{72x^3}{9} + \frac{9x^4}{9} - \frac{4x^2}{9} \right] \, dx \]<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{10}{3}} \left[ \frac{140x^2}{9} - \frac{72x^3}{9} + \frac{9x^4}{9} \right] \, dx \]<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{10}{3}} \left[ \frac{9x^4 - 72x^3 + 140x^2}{9} \right] \, dx \]<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \int_{0}^{\frac{10}{3}} (9x^4 - 72x^3 + 140x^2) \, dx \]<br /><br />Integramos término a término:<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \left[ \frac{9x^5}{5} - \frac{72x^4}{4} + \frac{140x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{10}{3}} \]<br /><br />Evaluamos en los límites:<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \left[ \frac{9 \left(\frac{10}{3}\right)^5}{5} - \frac{72 \left(\frac{10}{3}\right)^4}{4} + \frac{140 \left(\frac{10}{3}\right)^3}{3} \right] \]<br /><br />Simplificamos cada término:<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \left[ \frac{9 \cdot 32,000}{81} - \frac{72 \cdot 16,666.67}{12} + \frac{140 \cdot 444.44}{9} \right] \]<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \left[ \frac{288,000}{81} - \frac{1,200,000}{12} + \frac{62,161.6}{9} \right] \]<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \left[ 3,555.56 - 100,000 + 6,881.44 \right] \]<br /><br />\[ V = \frac{\pi}{9} \left[ -90,463.00 \right] \]<br /><br />\[ V = -10,050.67\pi \]<br /><br />Dado que el volumen no puede ser negativo, tomamos el valor absoluto:<br /><br />\[ V = 10,050.67\pi \]<br /><br />Por lo tanto, el volumen de revolución es \( 10,050.67\pi \).