A particle travels along the x-axis ; such that its velocity is given by v(t)=t^0.1cos(3t-2) What is the distance traveled by the particle : over the interval 0leqslant tleqslant 5 ? You may use a calculator and round your answer to the nearest thousandth.

Para encontrar la distancia recorrida por la partícula en el intervalo \(0 \leq t \leq 5\), necesitamos integrar la velocidad \(v(t)\) con respecto al tiempo \(t\).<br /><br />La velocidad dada es:<br />\[ v(t) = t^{0.1} \cos(3t - 2) \]<br /><br />La distancia total recorrida es la integral de \(v(t)\) desde \(t = 0\) hasta \(t = 5\):<br />\[ \text{Distancia} = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} t^{0.1} \cos(3t - 2) \, dt \]<br /><br />Para resolver esta integral, podemos usar una técnica de integración por partes. Sea \(u = t^{0.1}\) y \(dv = \cos(3t - 2) \, dt\).<br /><br />Primero, encontramos \(du\) y \(v\):<br />\[ du = 0.1 t^{-0.9} \, dt \]<br />\[ v = \int \cos(3t - 2) \, dt = \frac{1}{3} \sin(3t - 2) \]<br /><br />Aplicamos la fórmula de integración por partes:<br />\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]<br /><br />Entonces,<br />\[ \int t^{0.1} \cos(3t - 2) \, dt = t^{0.1} \cdot \frac{1}{3} \sin(3t - 2) - \int \frac{1}{3} \sin(3t - 2) \cdot 0.1 t^{-0.9} \, dt \]<br /><br />Simplificamos la integral restante:<br />\[ \int \sin(3t - 2) \cdot t^{-0.9} \, dt \]<br /><br />Para resolver esta integral, podemos hacer un cambio de variable. Sea \(u = 3t - 2\), entonces \(du = 3 \, dt\) o \(dt = \frac{du}{3}\).<br /><br />La integral se convierte en:<br />\[ \int \sin(u) \cdot \left(\frac{t^{-0.9}}{3}\right) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{9} \int \sin(u) \cdot t^{-0.9} \, du \]<br /><br />Esta integral no tiene una forma elemental, pero podemos evaluarla numéricamente usando una calculadora simbólica.<br /><br />Finalmente, evaluamos la integral definida desde \(t = 0\) hasta \(t = 5\):<br />\[ \text{Distancia} = \left[ t^{0.1} \cdot \frac{1}{3} \sin(3t - 2) \right]_{0}^{5} - \frac{1}{9} \int_{0}^{5} \sin(3t - 2) \cdot t^{-0.9} \, dt \]<br /><br />Después de evaluar estas expresiones numéricamente, obtenemos la distancia total recorrida por la partícula en el intervalo dado.