A particle travels along the x -axis such that its velocity is given by v(t)=t^1.8sin(3t) . What is the distance traveled by the particle over the interval 0leqslant tleqslant 5 ? You may use a calculator and round your answer to the nearest thousandth.

Para encontrar la distancia recorrida por la partícula en el intervalo \(0 \leq t \leq 5\), necesitamos integrar la velocidad con respecto al tiempo. La distancia total es la integral de la velocidad desde 0 hasta 5:<br /><br />\[ \text{Distancia} = \int_{0}^{5} v(t) \, dt \]<br /><br />Dado que \( v(t) = t^{1.8} \sin(3t) \), la integral se calcula como:<br /><br />\[ \text{Distancia} = \int_{0}^{5} t^{1.8} \sin(3t) \, dt \]<br /><br />Para resolver esta integral, podemos usar una técnica de integración por partes o una tabla de integrales. En este caso, usaremos una tabla de integrales para encontrar la integral de \( t^{1.8} \sin(3t) \):<br /><br />\[ \int t^{1.8} \sin(3t) \, dt = \frac{t^{1.8}}{9} \left( -\cos(3t) + \frac{3}{2} \sin(3t) \right) + C \]<br /><br />Ahora, evaluamos esta integral en los límites de integración de 0 a 5:<br /><br />\[ \text{Distancia} = \left[ \frac{t^{1.8}}{9} \left( -\cos(3t) + \frac{3}{2} \sin(3t) \right) \right]_{0}^{5} \]<br /><br />Sustituimos los límites de integración:<br /><br />\[ \text{Distancia} = \frac{5^{1.8}}{9} \left( -\cos(15) + \frac{3}{2} \sin(15) \right) - \frac{0^{1.8}}{9} \left( -\cos(0) + \frac{3}{2} \sin(0) \right) \]<br /><br />Simplificamos la expresión:<br /><br />\[ \text{Distancia} = \frac{5^{1.8}}{9} \left( -\cos(15) + \frac{3}{2} \sin(15) \right) \]<br /><br />Usando una calculadora, encontramos los valores numéricos:<br /><br />\[ 5^{1.8} \approx 125.892 \]<br />\[ \cos(15) \approx 0.9659 \]<br />\[ \sin(15) \approx 0.2588 \]<br /><br />Sustituimos estos valores en la expresión:<br /><br />\[ \text{Distancia} = \frac{125.892}{9} \left( -0.9659 + \frac{3}{2} \cdot 0.2588 \right) \]<br /><br />\[ \text{Distancia} = \frac{125.892}{9} \left( -0.9659 + 0.3876 \right) \]<br /><br />\[ \text{Distancia} = \frac{125.892}{9} \left( -0.5783 \right) \]<br /><br />\[ \text{Distancia} = \frac{125.892}{9} \cdot (-0.5783) \]<br /><br />\[ \text{Distancia} \approx -7.644 \]<br /><br />Finalmente, redondeamos a la distancia más cercana a cero:<br /><br />\[ \text{Distancia} \approx 7.644 \]<br /><br />Por lo tanto, la distancia recorrida por la partícula en el intervalo \(0 \leq t \leq 5\) es aproximadamente 7.644 unidades.