En una P. A. La suma del primer y segundo término es 22; la suma del cuarto y quinto término es 58. Calcule el tercer término.

<div class="athena_tag_tk_ques_text_content" data-testid="answer_box_text"><p><strong>P.A.</strong> es una <strong>P</strong>rogresión <strong>A</strong>ritmética.</p><p></p><p>Si esta respuesta te parece larga, imagina lo que me puede haber costado de tiempo prepararla de manera lo más comprensible posible y si realmente te interesa conocer el tema de las progresiones aritméticas, sería bueno que te tomaras el tiempo de analizarla y si algo no entiendes puedes consultármelo abajo en el campo de Comentario.</p><p></p><p>Para entender el procedimiento hay que tener claros varios conceptos que definen este tipo de progresiones así que vamos a recordarlos.</p><p></p><p>Una PA es una sucesión de números llamados "términos" relacionados entre ellos porque el valor de cualquier término se obtiene sumando una cantidad invariable al término anterior y esa cantidad que añadimos es lo que se conoce como diferencia "<strong>d</strong>".</p><p></p><p>Según eso, si tenemos un primer término que llamo "a₁" y le añado la diferencia "d", obtengo un segundo término que llamo "a₂", es decir que la expresión sería así:</p><ul><li><strong>a₂ = a₁ + d</strong> </li></ul><p></p><p>Si al término <strong>a₂</strong> le añado la diferencia "<strong>d</strong>", obtengo el tercer término <strong>a₃</strong> y se expresa así:</p><p>a₃ = a₂ + d ... y si sustituyo "a₂" por la expresión anterior, tengo esto:</p><p>a₃ = (a₁ + d) + d  ... que reducido me queda ...</p><ul><li>a₃ =  <strong>a₁ + 2d</strong></li></ul><p></p><p>Y así podría ir representando todos los términos sucesivos...</p><ul><li>a₄ = <strong>a₁ + 3d</strong></li></ul><ul><li>a₅ = <strong>a₁ + 4d</strong></li></ul><p>... etc ...</p><p></p><p>Comprender eso es imprescindible para entender la resolución de este ejercicio y voy con ello:</p><p></p><p>Nos dice esto:</p><h2>a₁ + a₂ = 22</h2><h2>a₄ + a₅ = 58</h2><p></p><p>Pero según lo explicado puedo decir esto:</p><ul><li>1ª expresión .-   a₂ = a₁ + d </li><li>2ª expresión .-   a₄ = a₁ + 3d</li><li>3ª expresión .-   a₅ = a₁ + 4d</li></ul><p></p><p>Sustituyo  a₂  de la primera expresión en la 1ª ecuación del ejercicio (a₁+a₂=22) :</p><p>a₁ + (a₁ + d) = 22  ... de donde reduciendo términos semejantes ...</p><p><strong>2a₁ + d = 22</strong>    <em> y con esta tengo la primera ecuación del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que voy a construir.</em></p><p></p><p>Sustituyo  a₄  y  a₅  de la 2ª y 3ª expresión en la 2ª ecuación del ejercicio (a₄+a₅=58) :</p><p>(a₁ + 3d) + (a₁ + 4d) = 58 ... reduciendo términos semejantes ...</p><p><strong>2a₁ + 7d = 58 </strong>  <em>y con esta tengo la segunda ecuación de ese sistema.</em></p><p></p><p>Las anoto ahora y resuelvo por el método de reducción para hallar el valor de a₁ :</p><ul><li>2a₁ + d = 22</li><li>2a₁ + 7d = 58</li></ul><p>Multiplico la primera por (-7) para eliminar la incógnita "d" ...</p><p>    -14a₁ -7d = -154</p><p><strong>+</strong><u>    2a₁ + 7d = 58</u></p><p>     -12a₁        = -96  ... despejo  a₁</p><p>a₁ = (-96) / (-12) = 8</p><p><strong>Ya tenemos el valor del primer término  a₁ = 8</strong></p><p>Lo sustituyo en la primera ecuación del ejercicio  <em>(a₁ + a₂ = 22)</em>  para saber el valor del término a₂ ...</p><p>8 + a₂ = 22</p><p>a₂ = 22 - 8 = 14</p><p><strong>Y ya tenemos el valor del segundo término  a₂ = 14</strong></p><p></p><p>Con esos dos términos ya podemos saber la diferencia "d" entre términos consecutivos:</p><p><strong>d =</strong> a₂ - a₁ = 14 - 8<strong> = 6</strong></p><p>Por lo tanto, el valor del tercer término ...</p><p>a₃ = 14 + 6 = 20</p><h2>a₃ = 20</h2><p></p></div>