roblemas de optimizac ion Un ganadero desea cercar un prado rectangular junto a un río. El prado ha de tener 180000m2 para proporcionar suficiente pasto. ¿Qué dimensiones debe tener el prado para que requiera la menor cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al río?

Para resolver este problema de optimización, podemos utilizar el método de derivadas parciales. Supongamos que el prado rectangular tiene una longitud de L metros y una anchura de W metros. Dado que el prado debe tener 180,000 metros cuadrados de área, podemos escribir la siguiente ecuación:<br /><br />L * W = 180,000<br /><br />Dado que no queremos cercar el lado que da al río, solo necesitamos cercar los otros tres lados del prado. El perímetro del prado es dado por la siguiente ecuación:<br /><br />P = 2L + 2W<br /><br />Para minimizar el perímetro, debemos encontrar las derivadas parciales de P con respecto a L y W, y establecerlas igual a cero:<br /><br />/dL = 2 + 4W/L = 0<br />dP/dW = 2L + 4L/W = 0<br /><br />Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos:<br /><br />2 + 4W/L = 0<br />2L + 4L/W = 0<br /><br />Multiplicando la primera ecuación por W y la segunda ecuación por L, obtenemos:<br /><br />2W + 8L/W = 0<br />2L + 4L^2/W = 0<br /><br />Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos:<br /><br />(2W + 8L/W) + (2L + 4L^2/W) = 0<br />2W + 8L/W2L + 4L^2/W = 0<br />2W + 8L + 2L + 4L^2/W = 0<br />2W + 10L + 4L^2/W = 0<br /><br />Multiplicando toda la ecuación por W para deshacernos de los denominadores, obtenemos:<br /><br />2W^2 + 10LW + 4L^2 = 0<br /><br />Ahora tenemos una ecuación cuadrática en términos de W. Para resolverla, podemos utilizar la fórmula cuadrática:<br /><br />W = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)<br /><br />Donde a = 2, b = 10L, y c = 4L^2. Sustituyendo estos valores, obtenemos:<br /><br />W = (-10L ± √(10L)^2 - 4*2*4L^2)) / (2*2)<br />W = (-10L ± √(100L^2 - 32L^2)) / 4<br />W = (-10L ± √68L^2) / 4<br />W = (-10L ± 2√17L^2) / 4<br />W = (-5L ± √17L^2) / 2<br /><br />Dado que la anchura del prado no puede ser negativa, podemos descartar la solución con la raíz cuadrada negativa. Por lo tanto, la solución es:<br /><br />W = (-5L + √17L^2) / 2<br /><br />Ahora podemos sustituir el valor de W en la ecuación L * W = 180,000 para encontrar el valor de L:<br /><br />L * ((-5L + √17L^2) / 2) = 180,000<br /><br />Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2 para deshacernos de los denominadores, obtenemos:<br /><br />L * (-5L + √17L^2) = 360,000<br /><br />Expandiendo el producto de los dos términos, obtenemos:<br /><br />-25L^2 + L * √17L^2 = 360,000<br /><br />Simplificando la ecuación, obtenemos:<br /><br />-25L^2 + L * √17L^2 = 360,000<br /><br />Dado que queremos minimizar el perímetro, debemos encontrar el valor de L que minimiza la ecuación P = 2L + 2W. Sustituyendo el valor de W que encontramos anteriormente, obtenemos:<br /><br />P = 2L + 2((-5L + √17L^2) / 2)<br />P = 2L + (-5L + √17L^2)<br />P = -5L + √17L^2<br /><br />Para minimizar el perímetro, debemos encontrar el valor de L que minimiza esta ecuación. Dado que la ecuación es una función cuadrática, podemos utilizar el método de completar cuadrados para encontrar el valor de L que minimiza el perímetro.<br /><br />Completando el cuadrado, obtenemos:<br /><br />P = (-5L + √17L^2) + (5L)^2 /