El punto N se encuentra en el segmento overline (MP) Hallar las coordenadas de N de modo que la razón entre MN y NP sea 1 a 7. Coordenadas de N : (square ,square )

Para resolver este problema, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del segmento $\overline{MP}$. Luego, podemos utilizar la proporción dada para encontrar las coordenadas de N.<br /><br />Dado que la razón entre MN y NP es 1 a 7, podemos escribir la proporción como:<br /><br />$\frac{MN}{NP} = \frac{1}{7}$<br /><br />Dado que el punto N se encuentra en el segmento $\overline{MP}$, podemos escribir la proporción en términos de las longitudes de los segmentos:<br /><br />$\frac{MN}{NP} = \frac{MP - NP}{NP}$<br /><br />Sustituyendo la proporción dada, obtenemos:<br /><br />$\frac{MP - NP}{NP} = \frac{1}{7}$<br /><br />Multiplicando ambos lados de la ecuación por NP, obtenemos:<br /><br />$MP - NP = \frac{NP}{7}$<br /><br />Sumando NP a ambos lados de la ecuación, obtenemos:<br /><br />$MP = \frac{6NP}{7}$<br /><br />Dado que el punto N se encuentra en el segmento $\overline{MP}$, podemos escribir la proporción en términos de las coordenadas de M y N:<br /><br />$\frac{MN}{NP} = \frac{MP - NP}{NP}$<br /><br />Sustituyendo las coordenadas de M y N, obtenemos:<br /><br />$\frac{(x_2 - x_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)} = \frac{(x_2 - x_1) - (x_2 - x_1 + y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)}$<br /><br />Simplificando la ecuación, obtenemos:<br /><br />$\frac{(x_2 - x_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)} = \frac{-y_2 + y_1}{x_2 - x_1 + y_2 - y_1}$<br /><br />Dado que la razón entre MN y NP es 1 a 7, podemos sustituir los valores en la ecuación:<br /><br />$\frac{(x_2 - x_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)} = \frac{-y_2 + y_1}{x_2 - x_1 + y_2 - y_1} = \frac{1}{7}$<br /><br />Simplificando la ecuación, obtenemos:<br /><br />$7(x_2 - x_1) = -7(y_2 - y_1)$<br /><br />Distribuyendo el coeficiente 7 en el primer término, obtenemos:<br /><br />$7x_2 - 7x_1 = 7y_2 - 7y_1$<br /><br />Sumando 7x_1 a ambos lados de la ecuación, obtenemos:<br /><br />$7x_2 = 7y_2 - 7x_1 + 7x_1$<br /><br />Simplificando la ecuación, obtenemos:<br /><br />$7x_2 = 7y_2$<br /><br />Dividiendo ambos lados de la ecuación por 7, obtenemos:<br /><br />$x_2 = y_2$<br /><br />Dado que el punto N se encuentra en el segmento $\overline{MP}$, podemos escribir la proporción en términos de las coordenadas de M y N:<br /><br />$\frac{MN}{NP} = \frac{MP - NP}{NP}$<br /><br />Sustituyendo las coordenadas de M y N, obtenemos:<br /><br />$\frac{(x_2 - x_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)} = \frac{(x_2 - x_1) - (x_2 - x_1 + y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)}$<br /><br />Simplificando la ecuación, obtenemos:<br /><br />$\frac{(x_2 - x_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)} = \frac{-y_2 + y_1}{x_2 - x_1 + y_2 - y_1}$<br /><br />Dado que la razón entre MN y NP es 1 a 7, podemos sustituir los valores en la ecuación:<br /><br />$\frac{(x_2 - x_1)}{(x_2 - x_1 + y_2 - y_1)} = \frac{-y_2 + y_1}{x_2 - x_1 + y_2 - y_1}